Asymptotika mentálního souboje v DrD+

Toto je přepis mého článku původně publikovaného na naší družinové wiki.

Pravidla DrD+ specifikují, jak probíhá mentální souboj. Jeho typickým použitím, pravděpodobně zamýšleným autory, je buďto souboj mezi dvěma soupeři na „nízkých úrovních“, když oba chtějí bojovat a souboj tak nemusí táhnout přes trvalý průnik, nebo případ, kdy má jeden soupeř sílu mysli cca o devět vyšší než pevnost mysli slabého protivníka a tak se může souboj rozhodnout v rozumném čase, který má smysl odházet na kostkách.

Mentální souboj je však zejména u theurga jednou z hlavních schopností a proto není divu, že hráč může chtít provádět mentální souboj se vzdáleným bezbranným soupeřem celé hodiny, dokud sám nepadne únavou. Pro theurga na čtvrté úrovni, který se na to specializuje, je tak možné se snadno prolomit během několika set kol do postavy na první úrovni. Odhazovat takových sto (a někdy daleko více) kol by však byla otrava a v pravidlech není mechanismus, který by to umožňoval snadno řešit.

Pro účely rozhodnutí těchto případů jsem napsal program, který mentální souboj řeší a shrnul výsledky (včetně technických detailů pro matematičtěji zaměřené hráče). Navrhuji jednoduchý mechanismus, jak mentální souboj rozhodnout několika málo hody s pomocí tabulky. Tento mechanismus se poměrně hodně dobře shoduje s výsledky, které bychom odházeli za mnoho set kol mentálního souboje.

SM - PM	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Čas na +10 TP (kola)	?	?	?	1873	992	536	283	150	82	47	28	17,8	11,8	8,3
Čas na +10 TP (bonus)	+83	+77	+71	+65	+60	+54	+49	+43	+38	+33	+29	+25	+21	+18
% prozrazení (kolo)	83,6%	75,8%	66,3%	55,6%	44,4%	33,7%	24,2%	16,4%	10,3%	6,2%	3,5%	1,9%	1,0%	0,5%
% prozrazení	100%	100%	100%	100%	100%	100%	100%	100%	100%	95%	63%	29%	11%	4%

Vysvětlivky: 
Čas (kola) - střední čas v kolech na získání trvalého průniku +10
Čas (bonus) - bonus za střední čas na získání trvalého průniku +10
% prozrazení (kolo) - pravděpodobnost prozrazení útoku v jednom kole
% prozrazení - pravděpodobnost prozrazení při získání trvalého průniku +10

Čas potřebný na průnik jednodušeji

Jelikož se nedá očekávat, že by u každé hry byl přítomný počítač s programem na vyhodnocení mentálního souboje, který trvá dvě hodiny, je účelné shrnout tabulku výše do hodu, který se dá realizovat pomocí jednoho 2k6+ hodu. (Z tabulky člověk vyčte jen střední čas, jak dlouho to většinou trvá, simulace však vyžaduje, aby se to „někdy povedlo a někdy ne“ - zahrnout rozptyl.)

V celém dalším textu mluvíme o trvalém průniku (zkratka TP), protože dočasný průnik hráč zpravidla získá snadno během několika kol.

Navrhovaný mechanismus
Nejprve si určíme, jaký vlastně potřebujeme získat trvalý průnik. Pokud např. provádíme mentální praktiku s náročností 35 bodů průniku, pak potřebujeme zhruba 25 bodů trvalého průniku, aby akce vůbec mohla být úspěšná. Jakmile už jednou získáme trvalý průnik 25, během několika kol se nám zpravidla poštěstí hodit na 2k6+ desítku nebo výš a dostat se tak na cílový průnik 35.

Potřebný trvalý průnik = Potřebný průnik - 10

Dále se zabýváme tím, za jak dlouho se nám podaří potřebný trvalý průnik nashromážit. Hodem

Skutečný čas na 10 bodů TP = Střední čas na 10 bodů průniku + 3/2 x (6 - 2k6+)

určíme čas potřebný k získání trvalého průniku +10. Je-li cílový trvalý průnik např. 25, pak tento hod provedeme třikrát. Za první desítku průniku, za druhou desítku průniku a čas, který vyjde u třetí desítky průniku vydělíme dvěma, protože nad dvacítku chceme už jen 5 bodů průniku, což je polovina desítky. Při sčítání časů mezi jednotlivými hody sčítáme samozřejmě hodnoty, ne bonusy.

Příklad: Theurg Itwin vyšetřuje vraždu radního Vosátka. Během předchozího pátrání zahrnujícího zkoumání citových vazeb k vražedné zbrani odhalil podezřelého, zloděje Francise. Francis zrovna mastí karty ve své oblíbené putyce a o vyšetřování netuší. Itwin si najde odraz jeho duše v duševním světě a zahájí mentální souboj.

Itwin se chce nabourat do vzpomínek. Rozhodne se, že k tomu bude potřebovat 35 bodů průniku, aby viděl všechny vzpomínky, jakmile už se mu jednou akce podaří, nejen ty nejsilnější. Dalších sedm bodů potřebuje, protože útočí po vazbě intenzity -7. Itwin je na 4. úrovni a specializuje se na mentální souboj. Má sílu mysli pro útok na bránu duše 8. Francis je na 3. úrovni. Itwin potřebuje napřed získat 32 bodů trvalého průniku (42 - 10). Rozdíl SM - PM je 5, takže z tabulky vyčteme, že průnik 10 získá průměrně za čas +38 (82 kol). Hod budeme opakovat čtyřikrát. Poprvé padne 10. Souboj tedy trval 38 + (6 - 10)*3/2 = 32, což odpovídá 40 kolům. Itwin je prozrazen (pravděpodobnost je v podstatě 100%) - Francis tuší, že se mu děje něco nadpřirozeného a velmi nepříjemného a tak se omlouvá a opouští svoje spoluhráče. Netuší ale, co s tím dělat, tak zamíří domů. Itwin mezitím pokračuje v nabírání trvalého průniku. Hodí 8, dalších +10 bodů mu tedy trvalo 38 + (6 - 8)*3/2 = 35, tedy 57 kol. Takto může pokračovat ještě docela dlouho. V dalším hodu padne -1, to je opravdu smůla. Probourávání tedy trvalo 38 + (6 - (-1))*3/2 = 49, tedy 287 kol. To je hodně, ale Itwin je blízko u cíle a skoro padá únavou, ale zatne zuby a pokračuje. Už potřebuje jen 2 body trvalého průniku. Hodí si 5, takže získání další desítky trvalého průniku by trvalo 38 + (6 - 5)*3/2 = 40, což je 100 kol. My však chceme jen pětinu průniku, takže v poslední hodu strávíme jen 20 kol. Celkem tedy Itwin má průnik 42 (32 trvalého a 10 běžného) a trvalo mu to 40 + 57 + 287 + 20 = 404 kol. Za tuto akci dostane Itwin 13 bodů únavy a z posledních sil přečte o Francisovi první i poslední .. a v neposlední řadě vzpomínku na vraždu pana radního. A díky navrženému mechanismu nedostane 13 bodů únavy i hráč. Co celou tu hodinu a něco dělal vyděšený Francis je úplně jiný příběh..


Související matematika
Důvod k tomuto vyhodnocování je relativně komplikovaný. Vychází z experimentálních dat, kdy jsme pomocí programu prováděli mentální souboj s cílem získat 10, 20 až 50 bodů trvalého průniku a měřili jsme statistické charakteristiky (střední hodnotu, rozptyl, šikmost a špičatost) rozdělení časů, které k tomu byly potřeba pro různé rozdíly síly a pevnosti mysli. Hod 2k6+ hrubě reprezentuje normální rozdělení. Lepší aproximaci lze získat rozdílem dvou takových hodů. Pokud je normálním rozdělením „házeno“ v bonusech a ne v hodnotách (což je všude v DrD+), je i při stejné střední hodnotě a rozptylu výsledné rozdělení mírně sešikmené, jak je vidět na obrázku vpravo.

Navržený hod má relativní odchylku asi 0,5 a šikmost velmi vysokou (přesnou hodnotu nemám, 2k6 hod by v navrženém hodu měl šikmost 0,87 a 2k6+ hod sečtený do osmi přehození asi 2,63 - šikmost je téměř divergentní a s přidáváním nových přehození podstatně roste). Vysoké šikmosti se ale nesmíme bát - je to artefakt toho, že 2k6+ rozdělení ubývá jako exp(-x) a ne jako exp(-x^2). Rozdělení je vychýlené a opticky“ sedí na experimentální data, což by nám mohlo stačit.

Pokud je vám divné, že v hodu je (6 - 2k6+) a ne (7 - 2k6+), je to tím, že (7 - 2k6+) hod má nulovou střední hodnotu v bonusech, ale kladnou střední hodnotu v hodnotách. (6 - 2k6+) má zase střední hodnotu v hodnotách mírně zápornou, ale je dobrým kompromisem mezi střední hodnotou a polohou maxima rozdělení - posuzoval jsem to okometricky srovnáním s experimentem. Viz obrázky vpravo. Důvodem k tomu, aby byl hod 2k6+ odečítaný a ne přičítaný je, aby hod dvou šestek byl úspěch a ne neúspěch - to by hráče mohlo mírně rozladit :-).

Obrázek ilustrující rozdíl mezi 2k6+ hodem provedeným v bonusech (modrá) a normálním rozdělením o stejném rozptylu (fialová). Obrázek je nezávislý na střední hodnotě. Vidíme, že se častěji stávají jevy s vyšší hodnotou.

Srovnání pravděpodobností získání průniku +10 za jistý čas pro SM-PM = 4, navrhovaný hod a skutečnost. Vodorovná osa je potřebný čas v kolech a na svislé ose je počet mentálních soubojů o daném čase z vybraného vzorku. Modré tečky ukazují, jaké pravděpodobnosti dává navržený hod. Vidíme, že obě rozložení jsou si do značné míry podobná a proto místo dlouhého mentálního souboje skutečně můžeme hodit jen jednou.

Srovnání pravděpodobností získání průniku +10 za jistý čas pro SM-PM = 8, navrhovaný hod a skutečnost. Vodorovná osa je potřebný čas v kolech a na svislé ose je počet mentálních soubojů o daném čase z vybraného vzorku. Modré tečky ukazují, jaké pravděpodobnosti dává navržený hod. Vidíme, že obě rozložení jsou si do značné míry podobná a proto místo dlouhého mentálního souboje skutečně můžeme hodit jen jednou.