Portály podle DrD+, tentokrát konzistentně

Jednou z mnoha dalších fyzikálních hraček, nad kterou jsem se v poslední době zamýšlel, jsou tzv. Portály. Pokud předchozí zamyšlení nad červími děrami mohlo být zajímavé z pohledu obecné teorie relativity (byť, sebekriticky řečeno, dávno známé nebo chybné), tady rovnou přiznám, že skutečně jde jenom o zábavné cvičení, které provozuji, aby mi fyzika nezevšedněla. Inspirací pro ně mi bylo .. Dračí Doupě Plus. (Ano, jsem jedním z těch lidí, které asi víc než samotná hra, zajímají dopady daných sad pravidel na politiku, fyziku a stavbu světa vůbec.) Většinu výsledků jsme vymysleli s Mikulášem při našem tradičním posezení ve Skanzenu..

Definice: Portál je brána mající dva východy, jejichž jednotlivé body jsou topologicky ztotožněné. Nezajímáme se přitom ale o to, jak se změní pole v blízkosti portálu - to považujeme za nezměněné, zajímáme se jen o to, jak procházející látka ovlivňuje pohyb bran portálu a jak je sama ovlivněna.

Je vidět, že je zde mnoho nedořešených otázek - pokud portál vede na místo s různým potenciálem, je možné, že při průchodu musíme překonávat potenciálový rozdíl, čímž bychom při průchodu fakticky narazili na poměrně tvrdou „zeď“. Úplně stejný problém je třeba s tím, když je portál natočený - potom jakmile projdeme, musí nějaká skoková síla způsobit změnu naší hybnosti, takže daleko spíše, než bychom prošli, tak nás tato síla, působící jen na úzké místo, kde se dotýkáme portálu, rozkrojí. A to nemluvím o tom, že pokud se druhé ústí pohybuje proti prvnímu, musíme dodat sílu, která dodá hybnost a energii spojenou s tímto rozdílem, takže opět narážíme do tvrdé zdi, nebo jsme náhlým skokem potenciálu rozkrojeni.

Ve skutečnosti ale spíše nechceme, aby portály tyto vlastnosti měly. Přirozeně by měl být za většiny normálních podmínek průchod skrz hladký a procházející předmět by si neměl ničeho všimnout. Pak nás zajímají jiné otázky: Co kdybych zapáčil prostrčenou tyčí proti kraji na jednom konci (nebo o nějaký háček, který na druhé straně přečnívá - díky Tome, za tenhle postřeh), znamená to, že druhý konec budu nadnášet, takže fakticky bude létat? Co když strčím do jednoho ústí? Působí to silou na prostrčený předmět, na opačné ústí, nebo na obojí? A co když jeden z konců roztočím? Kdo a jak pociťuje odstředivou sílu?

Podobné otázky není úplně lehké konzistentně zadefinovat - vlastnosti portálů sice definujeme my, ale snadno si vyrobíme spor. Pokud se shodneme na tom, že předmět prochází portálem volně, musí být nějak realizována vazba, která říká, že když tyč prochází středem jednoho konce, musí procházet středem druhého konce. Je potřeba sáhnout po matematice a skutečně napsat pohybové rovnice. Ty se dají snadno najít pomocí Lagrangeova formalismu. Postavme nejprve jednoduchý model - mějme ústí v bodech a(t), b(t) a konce předmětu x(t), y(t). Konce portálu a konce předmětu mají hmotnosti Ma, Mb, Mx(t), My(t) = M - Mx(t). Předpokládejme nejprve pro jednoduchost, že brány portálu jsou v přímce. Potom můžeme napsat kinetickou a potenciální energii:

T = 1/2 Ma a'(t)^2 + 1/2 Mb b'(t)^2 + 1/2 Mx(t) x'(t)^2 + 1/2 My(t) y'(t)^2 + 1/2 (Mx'(t)^2 + My'(t)^2)/ρ
V = - kA a(t) - kB b(t) - kX x(t) - kY y(t) - kMx Mx(t)/ρ - kMy My(t)/ρ

Jistě poznáte zobecněné síly kA, ... kY působící na ústí a na jednotlivé konce předmětu a kinetické energie týchž částí. Trochu netradične jsem zvolil členy 1/2 (Mx'(t)^2 + My'(t)^2)/ρ a - kMx Mx(t)/ρ - kMy My(t)/ρ. Jde o reprezentaci toho, že předmět může mít i rychlost v ose kolmé na portál (rychlost vnikání do portálu), jen rovnou z-ovou osu přepočítáváme na změnu hmotnosti přes délkovou hustotu ρ. Nejdůležitějším aspektem problému je vazba, která zaručuje, že předmět bude procházet těmi samými body obou ústí. V našem jednoduchém modelu má tvar

a(t) - x(t) = b(t) - y(t). (A její příslušné derivace.)

Z Lagrangeova formalismu pak z lagranžiánu L = T - V plynou pohybové rovnice, které hojně obsahují rozdíly rychlostí jednotlivých objektů, jak bylo naznačeno v předchozím odstavci. Aniž bych vypisoval rovnice, které si každý jistě dám z lagranžiánu odvodí, popíši, co je potřeba udělat:

1. Spočteme plné pohybové rovnice.
2. Zobecněné síly rozložíme na skutečnou vnější sílu a kompenzační sílu, která má odstranit nežádoucí efekty, zejména síly závislé na rychlosti a poloze portálů.
3. Kompenzační síly nastavíme tak, aby se v nepřítomnosti vnějších sil jak ústí, tak předmět, pohybovali volně. Pokud je soustava podurčená, nastavíme síly třeba tak, aby nenapínaly vazbu. (Což je samozřejmě naše volba a rovnice to nemění.)

Mx''[t] = 1/2 (2 (kMx-kMy)+ρ (a'[t]-b'[t]) (-a'[t]+b'[t]+2 x'[t])),

a''[t] = (-(kA+kB) Mx[t]^2+Mx[t] ((kA+kB) M-(kX+kY) Mb+Mb (a'[t]-b'[t]) Mx'[t])+M Mb (kA+kX-Mx'[t] x'[t]))/(M Ma Mb+(Ma+Mb) My[t] Mx[t]),

b''[t] = (-(kA+kB) Mx[t]^2+Mx[t] ((kA+kB) M+(kX+kY) Ma+Ma (-a'[t]+b'[t]) Mx'[t])+M Ma (kB-kX+Mx'[t] x'[t]))/(M Ma Mb+(Ma+Mb) My[t] Mx[t]),

x''[t] = (-kB M Ma+kX M Ma+((kA+kX) M+(kX+kY) Ma) Mb+Mx'[t] (Ma Mb (-a'[t]+b'[t])-M (Ma+Mb) x'[t])+Mx[t] ((kB-kX) Ma-(kA+kX) Mb+(Ma+Mb) Mx'[t] x'[t]))/(M Ma Mb+(Ma+Mb) My[t] Mx[t])

Po kompenzaci rovnice mají tvar

Mx''[t] = kmx-kmy,

a''[t] = ((ka+kx) M Mb-Mx[t] (-(ka+kb) M+(kx+ky) Mb+(ka+kb) Mx[t]))/(M Ma Mb+(Ma+Mb) My[t] Mx[t]),

b''[t] = ((kb-kx) M Ma+Mx[t] ((ka+kb) M+(kx+ky) Ma-(ka+kb) Mx[t]))/(M Ma Mb+(Ma+Mb) My[t] Mx[t]),

x''[t] = (-kb M Ma+kx M Ma+((ka+kx) M+(kx+ky) Ma) Mb+(kb Ma-kx Ma-(ka+kx) Mb) Mx[t])/(M Ma Mb+(Ma+Mb) My[t] Mx[t])

Tato změť, kterou jsem mohl stejně dobře umístit jen do komentáře, není sama o sobě tak zajímavá. Zajímavé jsou až důsledky, které plynou z jejích limitních případů: (ve všech vynechávám Mx''[t], ta je dána exaktním vzorcem výše, který nepotřebujeme zjednodušovat - ve směru dovnitř portálu je předmět volný.)

Lehký předmět:

x''[t] = (kx+ky)/M + (-kb Ma My + kx Ma My + ka Mb My + kx Mb My)/Ma Mb M,
a''[t] = ka/Ma + (kx My - ky Mx)/Ma M,
b''[t] = kb/Mb - (kx My - ky Mx)/Mb M,

Lehký předmět bude tedy především (v nultém řádu) volný, v prvním řádu bude existovat oprava pro pohyb portálu i předmětu uměrná síle (kx My - ky Mx)/M, na předmět pak působí příslušná reakční síla. Pokud je tedy předmět srovnatelně velký s portálem, můžeme očekávat, že pokud jej tlačíme ke kraji, není úplně volný, ale trochu to s ústími cukne.

Jedno ústí (B) těžké, druhé lehké (A):

x''[t] = (ka+kx)/Mx,
y''[t] = (-ka+ky)/My,
a''[t] = (ka-ky)/My + (ka+kx)/Mx,
b''[t] = 0

Z rovnic vidíme, že ústí A sleduje přesně pohyby obou konců předmětu. Pokud žádná síla nepůsobí na A, předmět se v otvoru portálu pohybuje jako volný. Pokud působí, projeví se silou působící na procházející předmět. Setrvačnost lehkého konce proti síle ka je dána převráceným součtem převrácených hodnot hmot obou konců předmětu - představa, že snadno odnesu těžký předmět procházející portálem jen proto, že samotné ústí je tvořené lehkým smotaným drátem, je tedy mylná.

Obě ústí těžké:

x''[t] = (kx+ky)/M, a''[t], b''[t] = 0

Zde akorát  ověříme, že se předmět s takovém případě pohybuje zcela volně.

Tímto jednoduchým modelem jsme přezkoumali setrvačné vlastnosti portálů. Zcela analogicky by měly jít kompenzační síly zavést tak, aby zrušily závislost na natočení. Tento složitější model, který má potenciál třeba zahrnout odstředivou sílu, pokud se jedno ústí otáčí, zatím na propočtení čeká.